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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 "/:7:{}  
(%Q4#h ,|  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &(;Cbz"  
k:#xS+Z  
　　1、三角函数本质：  lyXo;  
O!aY}6u*  
　　三角函数的本质来源于定义 MimY"/nE  
<OW |Cj  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 a|ykwAch  
-!9@_gG[}.  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 #G==zJQ5  
S*qr)+?!  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： .bIJ)  
\,a+<a*\  
　　推导： Ah8@g/>T  
7Z*>m#%x3  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 oefk7.9n0  
#/'t_6AG  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) A)Kv_M[  
}vm2[4Vl7  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 4l3X}MB  
K+$+;>  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 b1b^RV5  
.jkZm\q  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Z.E.>xr"  
]om'\`82  
　　[1] Y=V2<+Up  
. K@SV5 <M  
　　两角和公式 (R?yziF  
~`7P/4#?o  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB -hky#JU3  
,=4I|r}6>  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  1172='C  
hmG4hUJ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB H)1ly51C4  
x.S~vY%  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB CzHKZ{GZES  
(;m"2p ?c  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 'C!5  
t SytlT  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `)^&e#\Y  
v|9J^[~*P  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  6>17}{ *  
.jo+l   
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) @04ITX  
`Q,"tV$  
倍角公式 O+Q W,y  
c"D55,':  
　　Sin2A=2SinA•CosA 79N$Gx  
XK!3Bm  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 a 6Jm HO  
j.DZCR5q  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） bLkTL^]tV6  
kkxHi{  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） w:!9BY  
tN W.'  
三倍角公式 G Oks]_M  
;J_*/[#p  
　　 8_,Oy<.)V  
<i8~A-Du  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Z+&v F rc  
.^;LaP*6N  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) nAZu@niQ\  
w`>s5d=V-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ]fcP~!_%#  
QA Iz3%  
三倍角公式推导 #h%hJ{<Em  
~f$Ex  
　　sin3a JJ[hVlWo  
1repWoV($n  
　　=sin(2a+a) pCMvC\+*  
q@^2-S  
　　=sin2acosa+cos2asina ZW4@'|?  
hkT"   
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina O0X7?}  
-!g*B26{  
　　=3sina-4sin³a /2H6B|';g  
#)f[ZSK  
　　cos3a *&)]#`h  
L1: kp2  
　　=cos(2a+a) ]8]bb   
l?Rn\ua%  
　　=cos2acosa-sin2asina *268h^Y,h  
TuglPm&   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa X/siCK\"{  
+8)R8 +:  
　　=4cos³a-3cosa j)]H)r,:R.  
/]- e^qo]  
　　sin3a=3sina-4sin³a BHo}kjvo  
H+8O-)  
　　=4sina(3/4-sin²a) Ew00o46  
p^eowkS  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] _u'/];y2p  
49BD7 w">  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) e}0Z!3!C;  
w,]q}&#-  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ~ K[u)v7  
~Ofl3<)]  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] }+BqQ#(Ad  
{M#)d{&N  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) \*= h|_  
@X*''C~  
　　cos3a=4cos³a-3cosa MoF(CRwH  
"pKpeM P&g  
　　=4cosa(cos²a-3/4) k?RYDO@h  
_I4W_z)AD  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] LP'E=83  
VJU 5#8Nj%  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) mY}l-|12[  
[w>`. DZn  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1vN`fXO3  
nw1JAuAz_5  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} <@ U]47c  
/]G* WO  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4=g)s AiY  
s_L@Eh  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ^<+).9  
X13]Ro >^  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] SM%~E#!1  
qI!> A3A  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 6lhLc bV  
EF7in%:xR  
　　上述两式相比可得 O02?&X!2wr  
vBNuuv9U  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) |<tQ5~)  
nUGZhrX 4  
半角公式 OAM 3+-|-  
*3`A,u  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ;45V |-_  
<FzkJHH]  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *[ $ Ru  
eh>)Dg$?  
和差化积 \O*'D3iw  
I`Ov~g$&o  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] {IE4%r  
D"d(BP5  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] mkVqW^CF  
/ !m*&U  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $5+R<FnteG  
2 Bgb7=3  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -6R9|ioA9f  
C>T% -_  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 6VWR?!@q|  
CC4v8yEl  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) -`Os%6 G  
aS3e%I?  
积化和差 2&hsFR  
& H@iA   
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] q O1 >f  
T+X(YBw  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] pZ 4ZC`A  
7#PsFFGIC^  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] PW_~yf  
fQ,/I@jG  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ^%G 6q^  
:'>T? !:  
诱导公式 M}"+g~0&  
nn I/$  
　　sin(-α) = -sinα J|.Gu W8u  
cy|"hx1mE  
　　cos(-α) = cosα Fk-stW-P  
>d}Dwn  
　　sin(π/2-α) = cosα FglHd&|  
= *84 C  
　　cos(π/2-α) = sinα ,/k _44m  
iKA@hb+n  
　　sin(π/2+α) = cosα Uz2`5o$y  
.y=rOh]_w  
　　cos(π/2+α) = -sinα /C.jZpC  
U<6AeJx]r  
　　sin(π-α) = sinα 09|8{n-o  
zbJ`;-7  
　　cos(π-α) = -cosα w`$4?w Dh  
M)2@ d3[=  
　　sin(π+α) = -sinα j< 2B7Dc(  
C/sB&&  
　　cos(π+α) = -cosα &4tn nY]  
a}a Z|L^  
　　tanA= sinA/cosA oCX146*p  
tNG-hP UL  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ^_ir,w0r  
;J.erJ  
　　tan（π/2－α）＝cotα @V`C 4Q  
OKocZL   
　　tan（π－α）＝－tanα F PU.w#H  
}TzeMCBM\  
　　tan（π＋α）＝tanα <yo2)(pHbC  
q@T[AG(/*k  
万能公式 Q3+E %8."  
=(VFo}V  
　　 yYay*8Ou  
# M*{K9  
其它公式  PM~ZcrZ  
%!#oc63X  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 K){w_%dh  
.]2&/N3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 0^oWoNJu  
*w)|JI~r  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Q~D_]kN @s  
~SD01Lz  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 _&YSuo  
<NK$4sc3  
　　对于任意非直角三角形,总有 #oUb( q  
FwxWZ*5pE,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8k,}Js/0w  
/s`H] )  
　　证: z^S5'M*M  
HoxqQIyME  
　　A+B=π-C eGxIwC  
3t YI if  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 3 8*$y  
z'F(|W  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) P=ya2O$(\l  
PB3RMb?{7  
　　整理可得 e4e'>$mbe  
A3@]%/"Df  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R6n2 *1G  
9yjt)Vut^  
　　得证 aKja\p  
w?u|G[E   
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 zr@_-r  
SK^RQ\B"  
其他非重点三角函数 >0 =sk:  
( ZN0`_p  
　　csc(a) = 1/sin(a) GGe^K~aIY  
KYO na'K<_  
　　sec(a) = 1/cos(a) @m M*an  
l~9_  
　　 .}q7*o%35  
rWTyIQp  
双曲函数 4djK"9rr  
A]; BK0O  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 eU=#eVV  
c)xa_/,*  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 q[*m.y  
fvyl  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) cgPAJBZ:#o  
Zcn5Ge|={E  
　　公式一： ^%6+<V  
u~% lJg  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： :J|r :S  
ec7{#{6n  
　　sin（2kπ＋α）= sinα :jJ-wbn-  
t y4M$O!i  
　　cos（2kπ＋α）= cosα XHrUN :  
8:=|ho  
　　tan（kπ＋α）= tanα .G|oR*=Os  
NX1m0,d0s  
　　cot（kπ＋α）= cotα &@.$XjvN  
czB$[h  
　　公式二： 4z;wEK"  
,MD{p5_&  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： &}v}(+F  
< m(_Y`0  
　　sin（π＋α）= -sinα Nl}#r7  
JS]V)X\  
　　cos（π＋α）= -cosα 9{D#~#O#J  
$U(X~Uh3Tv  
　　tan（π＋α）= tanα SD: {xh  
1rD$wjAk  
　　cot（π＋α）= cotα IqV_Y<  
Mg/}\"sWy  
　　公式三： W2dH2 ez0  
m0l;6 3NQ  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： jk!SuFu)  
|_C j}  
　　sin（-α）= -sinα X5WSCJ~  
N`sB@ #B*  
　　cos（-α）= cosα 'U\7 - !L  
Qa' n5Oo  
　　tan（-α）= -tanα d.oh/\pK*  
2=`k4":l  
　　cot（-α）= -cotα ?(B>l  
FnoQX8|^  
　　公式四： b(^e[  
B5 e"},  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： JcuA:gn@/B  
Dyg3Ce?   
　　sin（π-α）= sinα |5E) PrP  
x wv"%%$  
　　cos（π-α）= -cosα c=Y*5E  
m {<E3U@|  
　　tan（π-α）= -tanα mEMS9rGA  
!7HlmPE  
　　cot（π-α）= -cotα pI d];OjIc  
>X<kW$tl@  
　　公式五： Az<FwX6 't  
mFN<Z0U8b  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： APBD6YHzkM  
ytYa-G/  
　　sin（2π-α）= -sinα ~zY7Fm  
o"bH#*yU  
　　cos（2π-α）= cosα )ujrb^  
X>T}H']  
　　tan（2π-α）= -tanα 0&>E&N!  
5 BB/'f  
　　cot（2π-α）= -cotα <H2C?$/S  
Dyi%m&_s  
　　公式六： hY@o5XZ  
qbRREZ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Kg y+_a  
l,l#S|J  
　　sin（π/2+α）= cosα g<2-o;:  
x%V"3?E+  
　　cos（π/2+α）= -sinα BP"PE_a-p  
56t!N`E$^  
　　tan（π/2+α）= -cotα 0YX;^f^C  
py"=; YM  
　　cot（π/2+α）= -tanα IP[I,&{  
6UE&%zr?  
　　sin（π/2-α）= cosα Vw*46  
:"|khU|  
　　cos（π/2-α）= sinα Y3C:F)Th$  
vCv2 3(  
　　tan（π/2-α）= cotα OpcqGu%CB9  
M*nu?*<[  
　　cot（π/2-α）= tanα W}{ ?  
c:"jd1&h+  
　　sin（3π/2+α）= -cosα NiJ]5%cq  
{E wK..H  
　　cos（3π/2+α）= sinα IJx.R T&  
pq-;CO  
　　tan（3π/2+α）= -cotα !hfV!3K;  
` v U"D  
　　cot（3π/2+α）= -tanα /.ZB@[=eb  
_66*Y;t  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ~Lj8 *  
)D~jCew7  
　　cos（3π/2-α）= -sinα B{LCkG B  
#?zg)"  
　　tan（3π/2-α）= cotα "5Hf,|]BR  
J^O5MF}Sj4  
　　cot（3π/2-α）= tanα >#V;8>@3  
2 UXbDs  
　　(以上k∈Z) MzCFE8V  
&j[R;cBW:  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Lypy# 1;+  
pO(sua#  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 1*3mJnne  
4b[=>YD  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } L@e ;?p_z  
_dam8n/U5  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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